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  分类计数原理:做一件事,有类办法,在第类办法中有种不同的方法,在第类办法中有种不同的方法,…,在第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法。

排列组合公式算法(排列组合公式详细讲解)

  分步计数原理:完成一件事,需要分成个步骤,做第步有种不同的方法,做第步有种不同的方法,…,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法。

  区别:分类计数原理是加法原理,不同的类加起来就是我要得到的总数;分步计数原理是乘法原理,是同一事件分成若干步骤,每个步骤的方法数相乘才是总数。

  从个不同元素种取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素种取出个元素的排列数,用符号表示。

  (规定)

  推导:把个不同的元素任选个排序,按计数原理分步进行:

  取第一个:有种取法;

  取第二个:有种取法;

  取第三个:有种取法;

  ……

  取第个:有种取法;

  根据分步乘法原理,得出上述公式。

  可理解为“某特定位置”先安排,再安排其余位置。

  可理解为:含特定元素的排列有,不含特定元素的排列为。

  从个不同元素种取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素种取出个元素的组合数,用符号表示。

  证明:利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。

  将部分排列问题分解为两个步骤:

  第一步,就是从个球中抽个出来,先不排序,此即组合数问题;

  第二步,则是把这个被抽出来的球排序,即全排列。

  根据乘法原理,,那么

  可以理解为:将原本的每个组合都反转,把原来没选的选上,原来选了的去掉,这样就变成从个元素种取出个元素,显然方案数是相等的。

  递推公式 可理解为:含特定元素的组合有,不含特定元素的排列为。还不懂?看下面。

  Example

  从1,2,3,4,5()中取出2()个元素的组合():

  12 13 14 15 23 24 25 34 35 45

  显然,这些组合中要么含有元素“1”,要么不含。

  其中含有“1”的是:12 13 14 15

  把里面的“1”都挖掉:2 3 4 5

  而上面这个等价于从2,3,4,5()中取出1()个元素的组合。

  其中不含“1”的是:23 24 25 34 35 45

  上面等价于从2,3,4,5()中取出2()个元素的组合。

  而总方案数等于上面两种情况方案数之和,即。

  我们感性认知一下,上面这个式子的左边表示什么呢?

  把从个球中抽出个球的组合数(值为)、抽出个球的组合数、抽出个球的组合数、……、抽出个球的组合数相加。

  换句话说,就是从个球中随便抽出一些不定个数球,问一共有多少种组合。

  对于第1个球,可以选,也可以不选,有2种情况。

  对于第2个球,可以选,也可以不选,有2种情况。

  对于任意一个球,可以选,也可以不选,有2种情况。

  根据乘法原理,一共种组合。

  想要严谨的证明?数学归纳法:

  当时,成立。

  假设时等式成立,即

  成立,当时,

  等式也成立。

  由1、2得,等式对都成立。

  也可偷懒地用二项式定理证明:

  令,就得到了

  类似的公式(由推导):

  这个神奇的图形和组合数、二项式定理密切相关。(图片来自百度百科)

  杨辉三角可以帮助你更好地理解和记忆组合数的性质:

  第行的个数可表示为 ,即为从个不同元素中取个元素的组合数。

  第行的数字有项。

  每行数字左右对称(第行的第个数和第个数相等,),由开始逐渐变大。

  每个数等于它上方两数之和(第行的第个数等于第行的第个数和第个数之和,即)。

  的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行中的每一项(二项式定理)。

  以下来自维基百科(我只是随便贴这)

  二项式系数

  二项式系数可排列成帕斯卡三角形。

  在数学上,二项式系数是二项式定理中各项的系数。一般而言,二项式系数由两个非负整数和为参数决定,写作,定义为的多项式展开式中,项的系数,因此一定是非负整数。如果将二项式系数写成一行,再依照顺序由上往下排列,则构成帕斯卡三角形。

  二项式系数常见于各数学领域中,尤其是组合数学。事实上,可以被理解为从个相异元素中取出个元素的方法数,所以大多读作「取」。二项式系数的定义可以推广至是复数的情况,而且仍然被称为二项式系数。

  二项式系数亦有不同的符号表达方式,包括:、、、、[注3],其中的C代表组合(combinations)或选择(choices)。很多计算机使用含有C的变种记号,使得算式只占一行的空间,相同理由也发生在置换数,例如写作。

  定义及概念

  对于非负整数和,二项式系数定义为的多项式展开式中,项的系数,即

  事实上,若、为交换环上的元素,则

  此数的另一出处在组合数学,表达了从物中,不计较次序取物有多少方式,亦即从一元素集合中所能组成元素子集的数量。

  计算二项式系数

  除展开二项式或点算组合数量之外,尚有多种方式计算的值。

  递归公式

  以下递归公式可计算二项式系数:

  其中特别指定:

  .

  此公式可由计算(1 + X ) n −1 (1 + X )中的X k项,或点算集合{1, 2, …, n }的k个元素组合中包含n与不包含n的数量得出。

  显然,如果k > n,则。而且对所有n,,故此上述递归公式可于此等情况下中断。递归公式可用作建构帕斯卡三角形。 binom nk=0 binom nn=1

  帕斯卡三角形(杨辉三角)

  有关二项式系数的恒等式

  关系式

  阶乘公式能联系相邻的二项式系数,例如在k是正整数时,对任意n有:

  两个组合数相乘可作变换:

  主条目:朱世杰恒等式

  二阶求和公式

  主条目:范德蒙恒等式

  三阶求和公式

  主条目:李善兰恒等式

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