求函数单调区间的步骤(怎样求函数的单调区间)

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单调区间是函数在其定义域内，函数值随自变量变化单调增加或单调减少的区间。求函数的单调区间是分析函数性质的重要步骤。以下是求函数单调区间的具体步骤：

1. 求导数：首先，我们需要求出函数的导数。导数可以告诉我们函数在某一点处的变化趋势，即函数在该点附近的增减情况。

2. 找出导数的零点：将导数设置为0，解出导数的零点。这些零点可能是函数的极值点，也可能是函数单调性的转折点。

3. 确定导数的符号：在导数的零点两侧，取不同的自变量值，代入导数中，观察导数的符号。导数的符号变化可以告诉我们函数的单调性。

如果导数在某个区间内始终大于0，那么函数在该区间上是单调递增的。

如果导数在某个区间内始终小于0，那么函数在该区间上是单调递减的。

4. 分析端点：如果函数的定义域有端点，还需要考虑端点处的导数符号。端点处的导数可能存在，也可能不存在，需要根据具体函数来判断。

5. 综合判断：将上述步骤得到的所有单调区间合并，得到函数的单调区间。

下面是一个具体的例子：

假设我们有函数 \( f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x \)，要求其单调区间。

1. 求导数：\( f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 \)。

2. 找出导数的零点：将 \( f'(x) = 0 \) 解得 \( x^2 – 4x + 3 = 0 \)，即 \( (x-1)(x-3) = 0 \)，所以 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 是导数的零点。

3. 确定导数的符号：取 \( x = 0 \)（在 \( x = 1 \) 左侧），代入导数得 \( f'(0) = 9 > 0 \)，说明在 \( x 0 \)，说明在 \( x > 3 \) 的区间上函数是单调递增的。

4. 分析端点：由于函数的定义域为全体实数，端点处导数不存在，但根据前面的分析，端点不影响单调性。

5. 综合判断：因此，函数 \( f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x \) 的单调递增区间为 \( (-\infty, 1) \) 和 \( (3, +\infty) \)，单调递减区间为 \( (1, 3) \)。

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