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一、单变量随机变量之期望与方差
二、双变量随机变量的期望与方差探讨
三、核心概念：协方差
公示表现：
对于离散情况：
计算E(X)时采用公式∑i从1至n Xi×Pi
若存在函数关系Y=g(x)，则其期望表达式为∑i从1至n g(xi)×Pi
在连续性模型中：
E(X) 的计算通过积分 ∫从负无穷到正无穷 xf(x) dx 得出
同样地，当Y=g(x)时，E(Y) 计算方法是 ∫从负无穷到正无穷 g(x)f(x) dx
方差定义：D(x)=E(x²)[E(x)]²
而标准差则是方差开平方的结果
各类常见概率分布的期望与方差概览：
01 分布的期望值为 p，方差为 p(1p)
二项分布 B(n,p) 中，期望为 np，方差为 np(1p)
泊松分布 π(λ) 的期望及方差均为 λ
几何分布的期望是 1/p，方差表现为 (1p)/p²
常态分布条件下，期望为 μ，方差确定为 σ²
均匀分布情形下，平均数是 a+b/2，方差为 (ba)²/12
指数分布 E(λ) 的期望是 1/λ，相应的方差是 1/λ²
卡方分布 x²(n) 其期待值为 n，方差为 2n
关于期望E(x)的基本属性包括：
常量 c 的期望即为其本身 c；
线性变换 ax + c 的期望等于 a乘以E(x) 加上 c；
两个随机变量 X 和 Y 相加后各自的期望满足 E(X±Y)=E(X)±E(Y)；
假设 X 和 Y 独立，则它们乘积的期望遵循 E(XY)=E(X)E(Y) 规律；
探究方差 D(X) 特征如下：
恒定数值 c 的方差始终为零；
经过线性转换 aX + b 后的方差变为原方差的 a²倍，即 D(aX+b)=a²D(x)；
两随机变量 X 和 ±Y 结合后的总方差由 D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y) 给出，在独立情况下简化为 D(X±Y)=D(X)+D(Y)；
协方差 Cov(X,Y) 是衡量关联程度的关键指标，其定义为 Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)；
进一步引入相关系数 ρxy，它等于协方差除以各自标准差的乘积，即 ρxy=Cov(X,Y)/X的标准差Y的标准差，并且 ρxy=0 表示两者无关；
牢记原则：独立必定意味着不相关，但反之并不成立。
协方差具备以下特性：
对称性：Cov(X,Y)=Cov(Y,X)；
与常数的相关性：Cov(X,C)=0；
自协方差特征：CoV(X,X) 等同于 D(X)。