排列组合公式算法(排列组合公式详细讲解)

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　　分类计数原理：做一件事，有类办法，在第类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。

　　分步计数原理：完成一件事，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法。

　　区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同一事件分成若干步骤，每个步骤的方法数相乘才是总数。

　　从个不同元素种取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素种取出个元素的排列数，用符号表示。

　　（规定）

　　推导：把个不同的元素任选个排序，按计数原理分步进行：

　　取第一个：有种取法；

　　取第二个：有种取法；

　　取第三个：有种取法；

　　……

　　取第个：有种取法；

　　根据分步乘法原理，得出上述公式。

　　可理解为“某特定位置”先安排，再安排其余位置。

　　可理解为：含特定元素的排列有，不含特定元素的排列为。

　　从个不同元素种取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素种取出个元素的组合数，用符号表示。

　　证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。

　　将部分排列问题分解为两个步骤：

　　第一步，就是从个球中抽个出来，先不排序，此即组合数问题；

　　第二步，则是把这个被抽出来的球排序，即全排列。

　　根据乘法原理，，那么

　　可以理解为：将原本的每个组合都反转，把原来没选的选上，原来选了的去掉，这样就变成从个元素种取出个元素，显然方案数是相等的。

　　递推公式 可理解为：含特定元素的组合有，不含特定元素的排列为。还不懂？看下面。

　　Example

　　从1，2，3，4，5（）中取出2（）个元素的组合（）：

　　12 13 14 15 23 24 25 34 35 45

　　显然，这些组合中要么含有元素“1”，要么不含。

　　其中含有“1”的是：12 13 14 15

　　把里面的“1”都挖掉：2 3 4 5

　　而上面这个等价于从2，3，4，5（）中取出1（）个元素的组合。

　　其中不含“1”的是：23 24 25 34 35 45

　　上面等价于从2，3，4，5（）中取出2（）个元素的组合。

　　而总方案数等于上面两种情况方案数之和，即。

　　我们感性认知一下，上面这个式子的左边表示什么呢？

　　把从个球中抽出个球的组合数（值为）、抽出个球的组合数、抽出个球的组合数、……、抽出个球的组合数相加。

　　换句话说，就是从个球中随便抽出一些不定个数球，问一共有多少种组合。

　　对于第1个球，可以选，也可以不选，有2种情况。

　　对于第2个球，可以选，也可以不选，有2种情况。

　　对于任意一个球，可以选，也可以不选，有2种情况。

　　根据乘法原理，一共种组合。

　　想要严谨的证明？数学归纳法：

　　当时，成立。

　　假设时等式成立，即

　　成立，当时，

　　等式也成立。

　　由1、2得，等式对都成立。

　　也可偷懒地用二项式定理证明：

　　令，就得到了

　　类似的公式（由推导）：

　　这个神奇的图形和组合数、二项式定理密切相关。（图片来自百度百科）

　　杨辉三角可以帮助你更好地理解和记忆组合数的性质：

　　第行的个数可表示为 ，即为从个不同元素中取个元素的组合数。

　　第行的数字有项。

　　每行数字左右对称（第行的第个数和第个数相等，），由开始逐渐变大。

　　每个数等于它上方两数之和（第行的第个数等于第行的第个数和第个数之和，即）。

　　的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行中的每一项（二项式定理）。

　　以下来自维基百科（我只是随便贴这）

　　二项式系数

　　二项式系数可排列成帕斯卡三角形。

　　在数学上，二项式系数是二项式定理中各项的系数。一般而言，二项式系数由两个非负整数和为参数决定，写作，定义为的多项式展开式中，项的系数，因此一定是非负整数。如果将二项式系数写成一行，再依照顺序由上往下排列，则构成帕斯卡三角形。

　　二项式系数常见于各数学领域中，尤其是组合数学。事实上，可以被理解为从个相异元素中取出个元素的方法数，所以大多读作「取」。二项式系数的定义可以推广至是复数的情况，而且仍然被称为二项式系数。

　　二项式系数亦有不同的符号表达方式，包括：、、、、[注3]，其中的C代表组合（combinations）或选择（choices）。很多计算机使用含有C的变种记号，使得算式只占一行的空间，相同理由也发生在置换数，例如写作。

　　定义及概念

　　对于非负整数和，二项式系数定义为的多项式展开式中，项的系数，即

　　事实上，若、为交换环上的元素，则

　　此数的另一出处在组合数学，表达了从物中，不计较次序取物有多少方式，亦即从一元素集合中所能组成元素子集的数量。

　　计算二项式系数

　　除展开二项式或点算组合数量之外，尚有多种方式计算的值。

　　递归公式

　　以下递归公式可计算二项式系数：

　　其中特别指定：

　　.

　　此公式可由计算(1 + X ) n −1 (1 + X )中的X k项，或点算集合{1, 2, …, n }的k个元素组合中包含n与不包含n的数量得出。

　　显然，如果k > n，则。而且对所有n，，故此上述递归公式可于此等情况下中断。递归公式可用作建构帕斯卡三角形。 binom nk=0 binom nn=1

　　帕斯卡三角形(杨辉三角)

　　有关二项式系数的恒等式

　　关系式

　　阶乘公式能联系相邻的二项式系数，例如在k是正整数时，对任意n有：

　　两个组合数相乘可作变换：

　　主条目：朱世杰恒等式

　　二阶求和公式

　　主条目：范德蒙恒等式

　　三阶求和公式

　　主条目：李善兰恒等式

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